3.4 Solution: Types🔗

Also consult chapter III.23 in the Redex book for ideas.

  #lang racket
   
  ;; a type reduction-based approach to type checking
   
  (require redex "common.rkt")
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; syntax 
  (define-language TLambda
    (e ::= n x (lambda (x t) e) (e e) (+ e e))
    (n ::= number)
    (t ::= int (t -> t))
    (x ::= variable-not-otherwise-mentioned))
   
  (define in-TLambda? (redex-match? TLambda e))
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; examples
   
  (define e1
    (term (lambda (x int) (lambda (f (int -> int)) (+ (f (f x)) (f x))))))
    
  (define e2
    (term
     (lambda (x int)
       (lambda (f ((int -> int) -> int))
         (f x)))))
  (define e3 (term (lambda ((x int)) (int -> int))))
   
  (module+ test
    (test-equal (in-TLambda? e1) #true)
    (test-equal (in-TLambda? e2) #true)
    (test-equal (in-TLambda? e3) #false))
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; (⊢ Γ e t) -- the usual type judgment for an LC language
   
  (define-extended-language TLambda-tc TLambda
    (e ::= .... t (t -> e))
    (C ::= hole (lambda (x t) C) (C e) (e C) (+ C e) (+ e C) (t -> C)))
   
  (module+ test
    (test-equal (term (tc ,e1)) (term (int -> ((int -> int) -> int))))
    
    ;; a failure -- no types are returned 
    (test-equal (term (tc ,e2)) #false))
   
  (define-metafunction TLambda-tc
    tc : e -> t or #false
    [(tc t) t]
    [(tc e)
     (tc e_again)
     (where (e_again e_more ...) ,(apply-reduction-relation ->tc (term e)))]
    [(tc e_stuck) #false])
   
  (define ->tc
    (reduction-relation
     TLambda-tc
     (--> (in-hole C n) (in-hole C int))
     (--> (in-hole C (+ int int)) (in-hole C int))
     (--> (in-hole C (lambda (x t) e)) (in-hole C (t -> (subst ((t x)) e))))
     (--> (in-hole C ((t -> t_range) t)) (in-hole C t_range))))
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  (module+ test
    (test-results))
   
   
  ;;; ------------------------------------------------------------
  ;;; common.rkt starts here
   
  #lang racket
   
  ;; basic definitions for the Redex Summer School 2015
   
  (provide
   ;; Language 
   Lambda
   
   ;; Any -> Boolean
   ;; is the given value in the expression language? 
   lambda?
   
   ;; x (x ...) -> Boolean
   ;; (in x (x_1 ...)) determines whether x occurs in x_1 ...
   in
   
   ;; Any Any -> Boolean
   ;; (=α/racket e_1 e_2) determines whether e_1 is α-equivalent to e_2
   ;; e_1, e_2 are in Lambda or extensions of Lambda that 
   ;; do not introduce binding constructs beyond lambda 
   =α/racket
   
   ;; ((Lambda x) ...) Lambda -> Lambda
   ;; (subs ((e_1 x_1) ...) e) substitures e_1 for x_1 ... in e
   ;; e_1, ... e are in Lambda or extensions of Lambda that 
   ;; do not introduce binding constructs beyond lambda 
   subst)
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  (require redex)
   
  (define-language Lambda
    (e ::=
       x 
       (lambda (x_!_ ...) e)
       (e e ...))
    (x ::= variable-not-otherwise-mentioned))
   
  (define lambda? (redex-match? Lambda e))
   
  (module+ test
    (define e1 (term y))
    (define e2 (term (lambda (y) y)))
    (define e3 (term (lambda (x y) y)))
    (define e4 (term (,e2 e3)))
   
    (test-equal (lambda? e1) #true)
    (test-equal (lambda? e2) #true)
    (test-equal (lambda? e3) #true)
    (test-equal (lambda? e4) #true)
   
    (define eb1 (term (lambda (x x) y)))
    (define eb2 (term (lambda (x y) 3)))
   
    (test-equal (lambda? eb1) #false)
    (test-equal (lambda? eb2) #false))
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; (in x x_1 ...) is x a member of (x_1 ...)?
   
  (module+ test
    (test-equal (term (in x (y z x y z))) #true)
    (test-equal (term (in x ())) #false)
    (test-equal (term (in x (y z w))) #false))
   
  (define-metafunction Lambda
    in : x (x ...) -> boolean
    [(in x (x_1 ... x x_2 ...)) #true]
    [(in x (x_1 ...)) #false])
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; (=α e_1 e_2) determines whether e_1 and e_2 are α equivalent
   
  (module+ test
    (test-equal (term ( (lambda (x) x) (lambda (y) y))) #true)
    (test-equal (term ( (lambda (x) (x 1)) (lambda (y) (y 1)))) #true)
    (test-equal (term ( (lambda (x) x) (lambda (y) z))) #false))
   
  (define-metafunction Lambda
     : any any -> boolean
    [( any_1 any_2) ,(equal? (term (sd any_1)) (term (sd any_2)))])
   
  ;; a Racket definition for use in Racket positions 
  (define (=α/racket x y) (term ( ,x ,y)))
   
  ;; (sd e) computes the static distance version of e
  (define-extended-language SD Lambda
    (e ::= .... (K n))
    (n ::= natural))
   
  (define SD? (redex-match? SD e))
   
  (module+ test
    (define sd1 (term (K 1)))
    (define sd2 (term 1))
   
    (test-equal (SD? sd1) #true))
   
  (define-metafunction SD
    sd : any -> any
    [(sd any_1) (sd/a any_1 ())])
   
  (module+ test
    (test-equal (term (sd/a x ())) (term x))
    (test-equal (term (sd/a x ((y) (z) (x)))) (term (K 2 0)))
    (test-equal (term (sd/a ((lambda (x) x) (lambda (y) y)) ()))
                (term ((lambda () (K 0 0)) (lambda () (K 0 0)))))
    (test-equal (term (sd/a (lambda (x) (x (lambda (y) y))) ()))
                (term (lambda () ((K 0 0) (lambda () (K 0 0))))))
    (test-equal (term (sd/a (lambda (z x) (x (lambda (y) z))) ()))
                (term (lambda () ((K 0 1) (lambda () (K 1 0)))))))
   
  (define-metafunction SD
    sd/a : any ((x ...) ...) -> any
    [(sd/a x ((x_1 ...) ... (x_0 ... x x_2 ...) (x_3 ...) ...))
     ;; bound variable 
     (K n_rib n_pos)
     (where n_rib ,(length (term ((x_1 ...) ...))))
     (where n_pos ,(length (term (x_0 ...))))
     (where #false (in x (x_1 ... ...)))]
    [(sd/a (lambda (x ...) any_1) (any_rest ...))
     (lambda () (sd/a any_1 ((x ...) any_rest ...)))]
    [(sd/a (any_fun any_arg ...) (any_rib ...))
     ((sd/a any_fun (any_rib ...)) (sd/a any_arg (any_rib ...)) ...)]
    [(sd/a any_1 any)
     ;; free variable, constant, etc 
     any_1])
   
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  ;; (subst ([e x] ...) e_*) substitutes e ... for x ... in e_* (hygienically)
   
  (module+ test
    (test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) x)) 1)
    (test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) y)) 2)
    (test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) z)) (term z))
    (test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (x y))))
                (term (lambda (z w) (1 2))))
    (test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (lambda (x) (x y)))))
                (term (lambda (z w) (lambda (x) (x 2))))
                #:equiv =α/racket)
    (test-equal (term (subst ((2 x)) ((lambda (x) (1 x)) x)))
                (term ((lambda (x) (1 x)) 2))
                #:equiv =α/racket)
    (test-equal (term (subst (((lambda (x) y) x)) (lambda (y) x)))
                (term (lambda (y1) (lambda (x) y)))
                #:equiv =α/racket))
   
  (define-metafunction Lambda
    subst : ((any x) ...) any -> any
    [(subst [(any_1 x_1) ... (any_x x) (any_2 x_2) ...] x) any_x]
    [(subst [(any_1 x_1) ... ] x) x]
    [(subst [(any_1 x_1) ... ] (lambda (x ...) any_body))
     (lambda (x_new ...)
       (subst ((any_1 x_1) ...)
              (subst-raw ((x_new x) ...) any_body)))
     (where  (x_new ...)  ,(variables-not-in (term (any_body any_1 ...)) (term (x ...)))) ]
    [(subst [(any_1 x_1) ... ] (any ...)) ((subst [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]
    [(subst [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])
   
  (define-metafunction Lambda
    subst-raw : ((x x) ...) any -> any
    [(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... (x_new x) (x_n2 x_o2) ...) x) x_new]
    [(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) x) x]
    [(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) (lambda (x ...) any))
     (lambda (x ...) (subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) any))]
    [(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] (any ...))
     ((subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]
    [(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])
   
  ;; -----------------------------------------------------------------------------
  (module+ test
    (test-results))